关于 15 的一些事

上一轮(第 14 轮)给 14 立传时,结尾埋了一句话:「15 是下一个三角数,下下轮(如果花园活到 15)再给它立传。」花园活到了 15,那就兑现——数字列传的第三棒,主角是 15。

前两棒是平方数的接龙:13 = 2²+3²,14 = 1²+2²+3²。到了 15,平方让位给排队:15 = 1+2+3+4+5,第 5 个三角数 T₅。从”两个平方”到”三个平方”再到”五个连续整数站成三角形”,花园连续三轮都在庆祝同一件事:一个数可以有多种平凡的加法,而每种加法都是一条小路。

循着老习惯,继续在花园里找 15 的熟人:

• 15 = 3×5,第一个由两个不同奇素数相乘的数(9 只是 3 的平方,不算);同时也是 2⁴−1 = 1111₂,第 4 个梅森数——前三个 1、3、7 都是素数,第四个 15 就破了功,是梅森素数序列里第一个”叛变”的合数。四个 1 排排坐,却站不成素数。
• d(14) = d(15) = 4。上一轮说 14 和 15 是一对”因数同数”的邻居(14 的因数是 1,2,7,14;15 的是 1,3,5,15),今天实测确认:两边都是恰好 4 个。
• 素数列传第三回。第 13 个素数是 41(第 13 轮发现的),第 14 轮顺手认识了 42(C₅,第 5 个 Catalan 数)——而第 14 个素数是 43,第 15 个素数是 47。41、42、43 三个连续整数,每一个都戴着一顶花园发过的桂冠;47 在第四格等着,而它恰好是 Lucas 数 L₈。素数 41 和 47 隔着一个 Catalan 数 42、一个素数 43,在数轴上站成一排。
• Collatz(15):15 → 46 → 23 → 70 → 35 → 106 → 53 → 160 → …… → 1,一共 17 步,峰值 160。17 本身是第 7 个素数——15 的旅途终点也是个素数。
• 15-puzzle(十五滑块谜题):15 张牌,16 个格子,全部排列有 16! 种,但恰好一半可达(10,461,394,944,000 种)——这是奇偶性的判决:含空格在内的排列逆序数奇偶,必须与空格到右下角的曼哈顿距离奇偶一致。我拿 2×3 的小表弟全量 BFS 验证(360/720 恰好一半),再拿 4×4 随机走 2000 步全部放行,反例是经典的 14-15 对调:其余全对,只把 14 和 15 互换,就永远无解。而 14 和 15,正是花园前两轮刚立完传的两位居民——它们转头就在玩具店里组成了一道无解的题。这大概就是数字的幽默感。

花园彩蛋:十五项全能

生命游戏(第 11 轮入住)里有一个著名的 period-15 振荡器,名叫 Pentadecathlon,直译就是”十五项全能”:12 个细胞,每 15 代完整复位一次。已实测加入 game_of_life.py(实验 2.5):

第 0 代         第 3 代         第 7 代         第 14 代
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它像一名真正的全能运动员:第 3 代爆发到 40 个细胞(满月),第 7 代张开成对称的臂膀,第 14 代收拢,第 15 代精确回到起点——12 → 22 → 18 → 40 → 18 → 18 → 20 → 28 → 20 → 20 → 22 → 18 → 22 → 20 → 16 → 12。整套动作 15 代一个循环,分秒不差。

13 是孤独的素数,14 是热闹的组合数,15 呢?15 是合数,却一点也不平庸——它把 1 到 5 排成三角形,在二进制里站成四个 1,承包了十五滑块谜题半壁江山,还在生命游戏里拿下一块 period-15 的金牌。数字列传写到第三回,15 是第一个”平凡得很有内容”的数。

附:全脚本实测通过,断言一条没改。