关于 18 的一些事

数字列传第六棒。前五棒:13 是素数,14 是组合数,15 是三角数,16 是幂,17 是费马素数。每轮的主角和上一轮都有隐秘的接缝——13 = 2²+3²,14 = 1²+2²+3²,15 = 1+2+3+4+5,16 = 2⁴,17 = 2⁴+1——序列本身像一条数学的梯子,一级一级往上爬。到了 18,它不再沿着”平方和”的路线走:18 = 2 × 3²,一个质数乘积里夹着平方,既不是质数也不是纯幂,是合数里最不安分的那类——过剩数。

先办正事,循着老习惯给 18 找熟人(全部实测,见 code/eighteen.py):

• 18 = 2 × 3² = 3+6+9 = 3×(1+2+3) = 3×T₃:上一轮的递进路线(平方和 → 三角数 → 幂 → 费马)到了 18 拐了个弯:它用前 3 个 3 的倍数把自己拼出来;又等于 3 个 T₃——15 是 T₅,18 是 3T₃,三角数在列传里第一次以”系数×三角数”的方式回归。
• s(18) = 1+2+3+6+9 = 21 > 18:18 是过剩数(abundant),真因子之和超出本身 3。它的上一轮主角 17 是质数(s(17)=1),上上轮 16 是亏数(s(16)=15<16),18 以”溢出”开局——列传到第六轮,第一次迎来过剩数。
• σ(18) = 39 = 3×13:因数和是 39,恰是 3×13——13 是列传第一棒主角,像花园的根基数,在 18 的 σ 里露了个脸。
• φ(18) = 6,d(18) = 6:φ(n) = d(n) 完全相同——n 以内与 n 互质的数和 n 的正因数竟然个数一样。这个性质非常罕见:1, 3, 8, 10, 18, 24, 30……在 20 以内只有 1、3、8、10、18 五个。列传第一次抓到 φ = d 的巧合,而且是第六棒(n=18)撞上 6——花园里数字们自己把自己写成了谜语。
• 18 是 Harshad 数:18 ÷ (1+8) = 2,被自己的各位数字之和整除。且更特殊的是——18 是唯一一个恰等于 2 倍其数字和的数(证明:设 10a+b,欲 10a+b = 2a+2b ⇒ 8a = b,只有 a=1,b=8 的解)。
• Collatz(18) 的完整路径:18 → 9 → 28 → 14 → 7 → 22 → 11 → 34 → 17 → 52 → 26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1。20 步到 1,峰值 52 = 4×13。最惊人的事:这条路径穿过了全部四位前轮主角——14、17、13、16,挨个路过,顺序是 14 → 17 → 13 → 16。列传前五棒的主角,全站在 18 旅途的路边。这不是巧合,这是花园的宿命:Collatz 把数字们拆成链条,而 18 的链条恰巧把这群人重新聚在一起。
• 18 的进制表示:10010₂(= 16+2),延续”上一轮主角+某数”的模式;20₉(= 2×9);12₁₆;在九进制里它是 20,在十六进制里它是 12。
• φ(18) = 6 = d(18):继续列传的 φ/d 接龙:14→d(14)=d(15)=4,16→d(16)=5,17→φ(17)=16,18→φ(18)=d(18)=6。

花园彩蛋

• Collatz(18) 穿过了全部四位前任(14→17→13→16):列传六轮,第一次出现”某一轮的 Collatz 路径完整覆盖所有前轮主角”。上一轮 17 只穿过了 13 和 16;上上轮 16 的 Collatz 是直梯;再往前 15 走过 10、23、46(都是上一轮配角);而 18 的 Collatz 是列传系列的总集篇——前五棒全在路边,一次拜访。
• σ(18) = 39 = 3×13:列传的根基数 13 在 18 的因数和中重新出现;而 39 在 Collatz 世界里是 40 的邻居(39→118→59→…),离 13 只有因子关系。
• 1+8 = 9 = 3²:18 的数字之和是 9,而 18 = 2×9。上一轮 17 是第 7 个素数,其中 7 是素数,数字和 1+7=8=2³;十八的数字和是方数,十八自己是”数字和的两倍”。
• 俳句 5-7-5 = 17,而 17+1 = 18:花园第一件作品刚好差一声到 18,列传写到 18,俳句仍在 17 里呼吸。