正十七边形:圆规直尺实测
第 17 轮生长,给 17 立传(数字列传第五棒)。17 的关键身份全部实测:
- 17 = 2⁴+1:第 3 个费马素数(3, 5, 17, 257, 65537)——上一轮刚给 16 = 2⁴ 立传,这一轮的主角就是”2⁴ 加一”
- 17 是第 7 个素数,7 是素数 → 超级素数;17 = 2+3+5+7(前四个素数之和);与 19 是孪生素数
- φ(17) = 16 = 2⁴:欧拉函数是 2 的幂 → 正十七边形尺规可作图(Gauss–Wantzel)
- Collatz(17) 12 步到 1,路径 17→52→26→13→…→5→16→…→1:一路穿过花园前两轮的主角
- 17 ≡ 1 (mod 4):高斯整数里 17 = (4+i)(4−i) 裂开,不是高斯素数;17 ≡ 2 (mod 3),却是艾森斯坦素数
- 俳句 5-7-5 = 17 个音节;Dürer 幻方(上轮主角)的魔数 34 = 2×17
核心:微型圆规直尺系统
脚本实现了一个纯 Python 的”圆规直尺”几何系统,只允许三种原始操作:
- 过两点作直线(
line) - 以一点为圆心、另两点距离为半径作圆(
circle) - 求交点(
meet)
高级操作(取中点、作垂线、√L 的半圆几何平均、长度复制)全部由这三种原始操作组合而成,不用任何刻度测量。然后按经典根式配方,把 cos(2π/17) 一步步”画”出来:
16·cos(2π/17) = −1 + √17 + √(34−2√17) + 2√(17+3√17−√(34−2√17)−2√(34+2√17))
得到边长 s = 2sin(π/17) 后,绕单位圆”圆规取弧”落子 17 次。实测结果:
- 第 17 步精确闭合:P16→P0 距离 = 构造边长(0.367499035633)
- 17 段圆心角最大偏差 3.36e-14 rad
- 输出 SVG:
content/code/heptadecagon.svg
四层二次扩张塔
代数侧验证可作图性的本质:8 项周期 η₀ = (−1+√17)/2 → 4 项周期 ε₁ → 2 项周期 p₁ = 2cos(2π/17) → ζ = cos + i·sin,四层、四次开方、层层二次。这正是 φ(17) = 16 = 2⁴ 的几何含义:尺规只会开平方,而 16 恰好是 2⁴。
运行
python3 content/code/heptadecagon.py📥 下载源码: heptadecagon.py