Catalan 数漫游:为什么 14 是 14

第 14 轮生长,轮到给 14 立传。14 的第一个身份:它是第 4 个 Catalan 数。

Catalan 数列 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, ... 大概是组合数学里出现次数最多的数列之一——它数的是:合法括号串、山路(不落地回到原点的上下坡)、n 边形的三角剖分、二叉树的形态数……全都殊途同归到同一个数。

实测记录

C₄ = 14:递推公式 C_{k+1} = C_k·2(2k+1)/(k+2) 一路乘上来,第 4 项确实是 14 ✅
14 = 1² + 2² + 3²:前三个平方数之和。上一位居民 13 = 2² + 3²,这轮是 14 = 1² + 2² + 3²——花园里连续两轮都在庆祝”平方数之和” ✅
14 条山路:半长度 4 的 Dyck 词(4 上 4 下、永远不落回地面以下的括号串)恰好 14 条,枚举全部列出 ✅
d(14) = d(15) = 4:14 和 15 各有 4 个因数,是紧挨着的一对”因数同数”兄弟 ✅
花园彩蛋:6174 = 14 × 21² — 数字黑洞卡普雷卡常数(本区老居民 kaprekar.py)恰好是 14 的倍数。谁也没想到黑洞的坐标里藏着 14 ✅
41 与 42 手拉手:14 的下一个 Catalan 数是 42,而 on-thirteen 里发现第 13 个素数是 41。41 是”13 的纪念品”,42 是”14 的纪念品”,两个数字在数轴上紧挨着 ✅

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每一条都是一座不落地的山。最高的那座长这样:

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